\documentclass[spanish,a4paper]{article}

\usepackage[spanish]{babel}
\usepackage{enumerate}
%\usepackage{graphicx}
\usepackage[cm]{fullpage}
\usepackage{amsmath}
%\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
%\usepackage{verbatim}
\usepackage{array}

\author{G. Sebasti\'an Pedersen \\
\small{\texttt{(sebasped@gmail.com)}}
}
\title{Derivadas Direccionales de Campos Escalares por definici\'on}
\date{\small\textsf{Versi\'on 1: mayo de 2011}}

\begin{document}
\maketitle

\section*{Recordar}
Si $f:A\subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ es un campo escalar, $P_0 \in dom(f)$ y $U\in\mathbb{R}^n$ es un versor, entonces la derivada direccional de $f$ en $P_0$ seg\'un la direcci\'on $U$ es:
$$D_U f (P_0) = \lim_{\Delta t \to 0} \dfrac{f(P_0+\Delta t U) - f(P_0)}{\Delta t}$$

En particular si $f:A\subseteq \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$, $f(x,y)=z$, $P_0=(x_0,y_0)$ y $U=u_1\mathbf{I}+u_2\mathbf{J}$, entonces la derivada direccional queda:
$$D_U f (x_0,y_0) = \lim_{\Delta t \to 0} \dfrac{f(x_0+\Delta t u_1;y_0+\Delta t u_2) - f(x_0;y_0)}{\Delta t}$$

Adem\'as:
\begin{itemize}
\item{Si $U=\mathbf{I}$ entonces $D_U f = \dfrac{\partial f}{\partial x}$. Es decir, en este caso, la derivada direccional coincide con la derivada parcial respecto a $x$.}
\item{Y si $U=\mathbf{J}$ entonces $D_U f = \dfrac{\partial f}{\partial y}$. Es decir, en este caso, la derivada direccional coincide con la derivada parcial respecto a $y$.}
\end{itemize}


\section*{Ejercicios}
\paragraph{1)} Calcular por definici\'on la derivada direccional de $f(x,y)=3x^2+2y$ en el punto $(-1;1)$ y seg\'un la direcci\'on $U=3\mathbf{I}+4\mathbf{J}$.
\paragraph{Resoluci\'on:} En este caso es $x_0=-1$ e $y_0=1$. Ahora hay que ver si $U$ es un versor, es decir si tiene m\'odulo $1$:
\begin{align*}
|U| &= \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{25}=5\\
|U| &= 5
\end{align*}
Como el m\'odulo de $U$ es $5$, entonces lo dividimos por $5$ para que quede de m\'odulo $1$:
\begin{align*}
U &= \dfrac{3\mathbf{I}+4\mathbf{J}}{5}\\
U &= \dfrac{3}{5}\mathbf{I}+\dfrac{4}{5}\mathbf{J}
\end{align*}
Luego:
\begin{align*}
D_U f (-1;1) &= \lim_{\Delta t \to 0} \frac{f\left(-1+\Delta t \frac{3}{5};1+\Delta t \frac{4}{5}\right) - f(-1;1)}{\Delta t}= \lim_{\Delta t \to 0} \dfrac{3\left(-1+\Delta t \frac{3}{5}\right)^2+2\left(1+\Delta t \frac{4}{5}\right) - 5}{\Delta t}\\
D_U f (-1;1) &= \lim_{\Delta t \to 0} \dfrac{3\left((-1)^2 +(\Delta t)^2\frac{9}{25} + 2(-1)\Delta t \frac{3}{5}\right)+2+\Delta t \frac{8}{5} - 5}{\Delta t}\\
D_U f (-1;1) &= \lim_{\Delta t \to 0} \dfrac{3 +(\Delta t)^2\frac{27}{25} - \Delta t \frac{18}{5}+\Delta t \frac{8}{5} - 3}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \dfrac{(\Delta t)^2\frac{27}{25} - \Delta t \frac{10}{5}}{\Delta t}\\
D_U f (-1;1) &= \lim_{\Delta t \to 0} \dfrac{(\Delta t)^2\frac{27}{25}}{\Delta t} - \dfrac{\Delta t \frac{10}{5}}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \Delta t\frac{27}{25} - \frac{10}{5}\\
D_U f (-1;1) &= 0\frac{27}{25} - \frac{10}{5} = \frac{10}{5}\\
D_U f (-1;1) &= 2
\end{align*}


\emph{Respuesta:} \fbox{$D_U f (-1;1) = 2$}









\end{document}

